Points extrémaux d’une partie convexe



Soit [latex]{X}[/latex] une partie convexe d’un [latex]{mathbb{R}}[/latex]-espace vectoriel [latex]{E}[/latex].

Un point [latex]{uin X}[/latex] est dit extrémal si [latex]{Xbackslash {u}}[/latex] est convexe.

  1. On munit [latex]{mathbb{R}^{2}}[/latex] de la norme euclidienne.Déterminer alors les points extrémaux de la boule unité fermée.
  2. Même question pour la norme définie par [latex]{||(x,y)||=|x|+|y|}[/latex].
  3. Montrer que [latex]{u}[/latex] est extrémal dans [latex]{X}[/latex] si et seulement si [latex]{u}[/latex] n’est pas le milieu de deux points de [latex]{Xbackslash {u}}[/latex].
  4. Soit [latex]{mathcal{B}}[/latex] la boule unité fermée d’un espace euclidien [latex]{E}[/latex].On munit [latex]{mathcal{L}(E)}[/latex] de la norme: [latex]{N(u)=suplimits_{xin mathcal{B}}||u(x)||}[/latex].

    Montrer que le groupe orthogonal [latex]{O(E)}[/latex] est l’ensemble des points extrémaux de [latex]{mathcal{B}}[/latex].

    On admettra que toute matrice [latex]{Min mathcal{M}_{n}(mathbb{R})}[/latex] s’écrit [latex]{M=Omega S}[/latex] où [latex]{Omega}[/latex] est orthogonale et [latex]{S}[/latex] symétrique. → Lire la suite