Pour [latex]{Ainmathcal{M}_n(mathbb{K})}[/latex], calcul de [latex]{A^n,,ninmathbb{Z}}[/latex] de [latex]{A^{1/n}}[/latex], de [latex]{exp(A)}[/latex] → Lire la suite
- Points extrémaux d’une partie convexe Soit [latex]{X}[/latex] une partie convexe d'un [latex]{mathbb{R}}[/latex]-espace vectoriel [latex]{E}[/latex]. Un point [latex]{uin X}[/latex] est dit extrémal si [latex]{Xbackslash {u}}[/latex] est convexe. On munit [latex]{mathbb{R}^{2}}[/latex] de la norme euclidienne.Déterminer alors les points extrémaux de la boule unité fermée. Même question pour la norme définie par [latex]{||(x,y)||=|x|+|y|}[/latex]. Montrer que [latex]{u}[/latex] est extrémal dans [latex]{X}[/latex] si et seulement si [latex]{u}[/latex] n'est pas le milieu de deux points de [latex]{Xbackslash {u}}[/latex]. Soit [latex]{mathcal{B}}[/latex] la boule unité fermée d'un espace euclidien [latex]{E}[/latex].On munit [latex]{mathcal{L}(E)}[/latex] de la norme: [latex]{N(u)=suplimits_{xin mathcal{B}}||u(x)||}[/latex]. Montrer que le groupe orthogonal [latex]{O(E)}[/latex] est l'ensemble des points extrémaux de [latex]{mathcal{B}}[/latex]. On admettra que…
- Une inéquation différentielle Soit [latex]{fin C^{1}(mathbb{R}, mathbb{R})}[/latex] telle que [latex]{f(1)=1}[/latex] et : [latex]{forall xgeq 1}[/latex], [latex]{f^{prime }(x)=dfrac{1}{x^{2}+f^{2}(x)}}[/latex]. Montrer que [latex]{f}[/latex] a une limite finie [latex]{L}[/latex] en [latex]{+infty }[/latex] et que [latex]{Lleq 1+dfrac{pi}{4}}[/latex]→ Lire la suite
- Une base de Kn[X] Soient [latex]{Pin mathbb{K}[X]}[/latex], de degré [latex]{n}[/latex], et soient [latex]{a_{0},...,a_{n}}[/latex] distincts dans [latex]{mathbb{K}}[/latex]. Montrer que les polynômes [latex]{P_j(X)=P(X+a_{j})}[/latex] forment une base de [latex]{mathbb{K}_{n}[X]}[/latex].→ Lire la suite
- Une factorisation Soit [latex]{nin mathbb{N}^{ast }}[/latex]. On considère le polynôme : [latex display="true"]{begin{array}{rl}P_n&=1+2X+3X^{2}+cdots+(n-1)X^{n-2}+nX^{n-1}\\&+(n-1)X^{n}+...+2X^{2n-3}+X^{2n-2}end{array}}[/latex]Trouver les racines de [latex]{P_n}[/latex] et le factoriser dans [latex]{mathbb{C}[X]}[/latex].→ Lire la suite
- Déterminant et polynômes Soit [latex]ninmathbb{N}[/latex], et [latex]{P_{n,j}(x)=(1-x)^{j}(1+x)^{n-j}=displaystylesum_{i=0}^{n}a_{n,i,j}x^{i}}[/latex] pour [latex]0le jle n[/latex]. On étudie la matrice des coefficients [latex]a_{n,i,j}[/latex] et on calcule son déterminant.→ Lire la suite
- Les racines du polynôme dérivé Comportement asymptotique des racines de [latex]{P_{n}=displaystyleprod_{k=0}^{n}(X-k)}[/latex]→ Lire la suite
- Racines du polynôme dérivé (bis) Comportement asymptotique des racines de [latex]{P_{n}=displaystyleprod_{k=0}^{n}(X-k^2)}[/latex]→ Lire la suite
- Étude d’une série de fonctions Étude de la fonction [latex]{f:xmapsto displaystylesumlimits_{nin mathbb{N}}ln (1+e^{-nx})}[/latex]. Équivalent de [latex]f[/latex] en [latex]0[/latex].→ Lire la suite
- Un condition suffisante de nilpotence Soit [latex]{Min mathcal{M}_{n}(mathbb{R})}[/latex]. Alors [latex]{M}[/latex] est nilpotente [latex]{Leftrightarrowforall kinmathbb{N}^*mathrm{t}mathrm{r}(M^{k})=0}[/latex].→ Lire la suite
- Excel pratique – Personnaliser la gestion des erreurs Les erreurs de calcul sont fréquentes dans les formules. Cet article va vous montrer comment personnaliser ce qui s’affiche dans une cellule en cas d’erreur. Pour cela, vous utiliserez la fonction SIERREUR(). Voici sa syntaxe : =SIERREUR(calcul;"chaîne") Où : calcul est un calcul quelconque. chaîne est la chaîne qui s’affiche dans la cellule si une erreur se produit sur le calcul. Si le calcul ne produit pas d’erreur, il est affiché dans la cellule. S’il produit une erreur, c’est la chaîne spécifiée en deuxième argument qui est affichée. Pour voir comment utiliser cette fonction, nous allons raisonner sur un exemple→ Lire la suite