Étude de [latex]{left(fmid gright)=dfrac{2}{n}displaystylesumlimits_{k=0}^{n-1}f(c_{k})g(c_{k})[/latex], où [latex][latex]{c_k=cosBigl(dfrac{(2k+1)pi}{2n}Bigr)}[/latex][→ Lire la suite
- Points extrémaux d’une partie convexe Soit [latex]{X}[/latex] une partie convexe d'un [latex]{mathbb{R}}[/latex]-espace vectoriel [latex]{E}[/latex]. Un point [latex]{uin X}[/latex] est dit extrémal si [latex]{Xbackslash {u}}[/latex] est convexe. On munit [latex]{mathbb{R}^{2}}[/latex] de la norme euclidienne.Déterminer alors les points extrémaux de la boule unité fermée. Même question pour la norme définie par [latex]{||(x,y)||=|x|+|y|}[/latex]. Montrer que [latex]{u}[/latex] est extrémal dans [latex]{X}[/latex] si et seulement si [latex]{u}[/latex] n'est pas le milieu de deux points de [latex]{Xbackslash {u}}[/latex]. Soit [latex]{mathcal{B}}[/latex] la boule unité fermée d'un espace euclidien [latex]{E}[/latex].On munit [latex]{mathcal{L}(E)}[/latex] de la norme: [latex]{N(u)=suplimits_{xin mathcal{B}}||u(x)||}[/latex]. Montrer que le groupe orthogonal [latex]{O(E)}[/latex] est l'ensemble des points extrémaux de [latex]{mathcal{B}}[/latex]. On admettra que…
- Une inéquation différentielle Soit [latex]{fin C^{1}(mathbb{R}, mathbb{R})}[/latex] telle que [latex]{f(1)=1}[/latex] et : [latex]{forall xgeq 1}[/latex], [latex]{f^{prime }(x)=dfrac{1}{x^{2}+f^{2}(x)}}[/latex]. Montrer que [latex]{f}[/latex] a une limite finie [latex]{L}[/latex] en [latex]{+infty }[/latex] et que [latex]{Lleq 1+dfrac{pi}{4}}[/latex]→ Lire la suite
- Une base de Kn[X] Soient [latex]{Pin mathbb{K}[X]}[/latex], de degré [latex]{n}[/latex], et soient [latex]{a_{0},...,a_{n}}[/latex] distincts dans [latex]{mathbb{K}}[/latex]. Montrer que les polynômes [latex]{P_j(X)=P(X+a_{j})}[/latex] forment une base de [latex]{mathbb{K}_{n}[X]}[/latex].→ Lire la suite
- Déterminant et polynômes Soit [latex]ninmathbb{N}[/latex], et [latex]{P_{n,j}(x)=(1-x)^{j}(1+x)^{n-j}=displaystylesum_{i=0}^{n}a_{n,i,j}x^{i}}[/latex] pour [latex]0le jle n[/latex]. On étudie la matrice des coefficients [latex]a_{n,i,j}[/latex] et on calcule son déterminant.→ Lire la suite
- Étude d’une série de fonctions Étude de la fonction [latex]{f:xmapsto displaystylesumlimits_{nin mathbb{N}}ln (1+e^{-nx})}[/latex]. Équivalent de [latex]f[/latex] en [latex]0[/latex].→ Lire la suite
- Supprimer des millions de fichiers le plus rapidement… Keith Winstein vient de publier les résultats d'une étude intéressante : quelle est la commande Linux / UNIX la plus rapide pour supprimer un million de fichiers vides dans un répertoire ? Pour effectuer cette analyse, il a mesuré le temps écoulé avec la commande time en utilisant successivement des programmes de suppression comme find, rsync et rm. Voici le tableau comparatif des résultats : Commandes utilisées Nombre de fichiers Temps de suppression rsync -a –delete empty/ s1/ 1000000 6m50.638s find s2/ -type f -delete 1000000 87m38.826s find s3/ -type f | xargs -L 100 rm 1000000 83m36.851s find…
- Produit scalaire, norme, distance Quatre exercices sur le thème "Produit scalaire, norme, distance"→ Lire la suite
- Polynômes et suite de Fibonacci Étude des [latex]{P_n(x)=displaystyleprod_{k=1}^{n}(1-x^{F_k})}[/latex], où les [latex]{F_k}[/latex] forment la suite de Fibonacci→ Lire la suite
- En quoi consiste la zoologie? La zoologie est l'étude du règne animal. Les zoologistes étudient tout, des cellules individuelles des organismes à une population entière d'animaux et comment les animaux interagissent avec l'environnement plus vaste. La zoologie a plusieurs domaines d'étude, y compris l'anatomie et la physiologie, la biologie cellulaire, la génétique, la biologie du développement, le comportement, l'écologie, l'évolution et la classification des animaux. La zoologie couvre tout et tout ce qui touche aux animaux. Anatomie, physiologie et biologie cellulaire L'anatomie est le domaine qui étudie la forme externe et interne d'un animal. Les zoologistes étudient fréquemment la forme corporelle externe d'un animal et…
- Étude de la suite n ⟼ (1+1/n)n+a (Exercice d'oral Centrale Mp) Pour tout réel [latex]{a}[/latex], on sait que la suite [latex]{n mapsto (1+1/n)^(n+a)}[/latex] tend vers e. Dans cet exercice, on étudie la monotonie de cette suite, et sa position par rapport à la limite e, en fonction du paramètre [latex]{a}[/latex].→ Lire la suite