(Oral Centrale Mp) Étude de la somme des inverses des [latex]{dbinom{n}{k}}[/latex], pour [latex]{0le kle n}→ Lire la suite
- Points extrémaux d’une partie convexe Soit [latex]{X}[/latex] une partie convexe d'un [latex]{mathbb{R}}[/latex]-espace vectoriel [latex]{E}[/latex]. Un point [latex]{uin X}[/latex] est dit extrémal si [latex]{Xbackslash {u}}[/latex] est convexe. On munit [latex]{mathbb{R}^{2}}[/latex] de la norme euclidienne.Déterminer alors les points extrémaux de la boule unité fermée. Même question pour la norme définie par [latex]{||(x,y)||=|x|+|y|}[/latex]. Montrer que [latex]{u}[/latex] est extrémal dans [latex]{X}[/latex] si et seulement si [latex]{u}[/latex] n'est pas le milieu de deux points de [latex]{Xbackslash {u}}[/latex]. Soit [latex]{mathcal{B}}[/latex] la boule unité fermée d'un espace euclidien [latex]{E}[/latex].On munit [latex]{mathcal{L}(E)}[/latex] de la norme: [latex]{N(u)=suplimits_{xin mathcal{B}}||u(x)||}[/latex]. Montrer que le groupe orthogonal [latex]{O(E)}[/latex] est l'ensemble des points extrémaux de [latex]{mathcal{B}}[/latex]. On admettra que…
- Une inéquation différentielle Soit [latex]{fin C^{1}(mathbb{R}, mathbb{R})}[/latex] telle que [latex]{f(1)=1}[/latex] et : [latex]{forall xgeq 1}[/latex], [latex]{f^{prime }(x)=dfrac{1}{x^{2}+f^{2}(x)}}[/latex]. Montrer que [latex]{f}[/latex] a une limite finie [latex]{L}[/latex] en [latex]{+infty }[/latex] et que [latex]{Lleq 1+dfrac{pi}{4}}[/latex]→ Lire la suite
- Une base de Kn[X] Soient [latex]{Pin mathbb{K}[X]}[/latex], de degré [latex]{n}[/latex], et soient [latex]{a_{0},...,a_{n}}[/latex] distincts dans [latex]{mathbb{K}}[/latex]. Montrer que les polynômes [latex]{P_j(X)=P(X+a_{j})}[/latex] forment une base de [latex]{mathbb{K}_{n}[X]}[/latex].→ Lire la suite
- Étude de la suite n ⟼ (1+1/n)n+a (Exercice d'oral Centrale Mp) Pour tout réel [latex]{a}[/latex], on sait que la suite [latex]{n mapsto (1+1/n)^(n+a)}[/latex] tend vers e. Dans cet exercice, on étudie la monotonie de cette suite, et sa position par rapport à la limite e, en fonction du paramètre [latex]{a}[/latex].→ Lire la suite
- Déterminant et polynômes Soit [latex]ninmathbb{N}[/latex], et [latex]{P_{n,j}(x)=(1-x)^{j}(1+x)^{n-j}=displaystylesum_{i=0}^{n}a_{n,i,j}x^{i}}[/latex] pour [latex]0le jle n[/latex]. On étudie la matrice des coefficients [latex]a_{n,i,j}[/latex] et on calcule son déterminant.→ Lire la suite
- Étude d’une série de fonctions Étude de la fonction [latex]{f:xmapsto displaystylesumlimits_{nin mathbb{N}}ln (1+e^{-nx})}[/latex]. Équivalent de [latex]f[/latex] en [latex]0[/latex].→ Lire la suite
- Une factorisation Soit [latex]{nin mathbb{N}^{ast }}[/latex]. On considère le polynôme : [latex display="true"]{begin{array}{rl}P_n&=1+2X+3X^{2}+cdots+(n-1)X^{n-2}+nX^{n-1}\\&+(n-1)X^{n}+...+2X^{2n-3}+X^{2n-2}end{array}}[/latex]Trouver les racines de [latex]{P_n}[/latex] et le factoriser dans [latex]{mathbb{C}[X]}[/latex].→ Lire la suite
- Puissances et racines de matrices Pour [latex]{Ainmathcal{M}_n(mathbb{K})}[/latex], calcul de [latex]{A^n,,ninmathbb{Z}}[/latex] de [latex]{A^{1/n}}[/latex], de [latex]{exp(A)}[/latex] → Lire la suite
- En quoi consiste la zoologie? La zoologie est l'étude du règne animal. Les zoologistes étudient tout, des cellules individuelles des organismes à une population entière d'animaux et comment les animaux interagissent avec l'environnement plus vaste. La zoologie a plusieurs domaines d'étude, y compris l'anatomie et la physiologie, la biologie cellulaire, la génétique, la biologie du développement, le comportement, l'écologie, l'évolution et la classification des animaux. La zoologie couvre tout et tout ce qui touche aux animaux. Anatomie, physiologie et biologie cellulaire L'anatomie est le domaine qui étudie la forme externe et interne d'un animal. Les zoologistes étudient fréquemment la forme corporelle externe d'un animal et…
- Classifications de niveau en écologie: vue d'ensemble Tous les organismes sur Terre forment des relations entre eux, avec d'autres organismes, leur environnement et des facteurs non vivants (alias abiotiques) dans le monde. L'étude de ces relations et interactions est généralement connue sous le nom d'écologie . Cependant, il existe différents niveaux de classification et domaines d'intérêt au sein de l'écologie dans son ensemble. Ils sont souvent décrits comme allant d'un vaste domaine d'études à un domaine d'études plus étroit. Ces différentes classes d'études écologiques sont également utilisées pour décrire comment les organismes et les environnements sont organisés dans le monde dans son ensemble. Biome Un biome est…